ELEMEN DASAR DAN FASOR

FASOR DAN impedansi

pada ELEMEN-elemen DASAR RANGKAIAN LISTRIK

1. Fasor

Fasor  adalah  grafik  untuk menyatakan  magnituda  (besar)  dan arah (posisi sudut). Fasor utamanya digunakan untuk menyatakan gelombang sinus dalam bentuk magnituda dan sudut serta untuk analisis rangkaian reaktif. Contoh fasor diperlihatkan pada Gambar 1.   Panjang panah fasor menyatakan magnituda dan sudut θ menyatakan posisi sudut seperti pada bagian (a) untuk sudut positif. Contoh fasor  pada  bagian (b) mempunyai magnituda 2 dan sudut fasa 450. Bagian (c) mempunyai magnituda 3 dan sudut fasa 1800  dan bagian (d) magnituda 3 dan sudut fasa -450 (+3150). Perhatikan bahwa sudut positif diukur berlawanan arah jarum jam dari referensi (00) dan sudut negatif  diukur searah jarum jam dari referensi (00).

(a)                            (b)                           (c)                            (d)

Gambar 1. Contoh fasor

1.1 Representasi Fasor Gelombang Sinus

Siklus penuh dari gelombang sinus dapat dinyatakan sebagai putaran fasor  3600. Nilai sesaat gelombang sinus pada setiap titik sama dengan jarak vertikal dari ujung fasor ke sumbu horisontal. Gambar 2. memperlihatkan gerakan fasor terhadap gelombang sinus dari 00  hingga

3600. Tampak bahwa panjang fasor sama dengan nilai maksimum dari gelombang sinus (lihat  sudut 900 dan sudut 2700).

Gambar 2. Representasi gelombang sinus dengan putaran fasor

1.2 Diagram Fasor

Diagram fasor  digunakan untuk memperlihatkan hubungan relatif dua atau lebih gelombang sinus pada frekuensi sama. Sebuah fasor posisi tetap digunakan untuk menyatakan gelombang sinus penuh, sebab sudut fasa antara dua atau lebih gelombang sinus frekuensinya sama. Misalnya, dua  gelombang  sinus  pada  Gambar  3(a)  dapat  dinyatakan  dengan diagram  fasor  seperti  bagian  (b).  Tampak  bahwa  gelombang  sinus  B

leading terhadap gelombang sinus A sebesar 300 dan amplituda lebih kecil dari gelombang sinus A, yang ditunjukkan dengan panjang fasor.

Gambar 3. Contoh diagram fasor

Notasi Fasor fungsi sinusoidal untuk tegangan dan arus adalah :

v = Vm Sin (ωt ±θ)  è V = Vm  Ð ±θ

i  = Im Sin (ωt ±θ)    è   I = Im  Ð ±θ  …..…………………….…...(1)

Karena   nilai   maksimum   hanya   digunakan   dalam   analisis rangkaian arus bolak balik maka fasor didefinisikan kembali yaitu nilai fasor ekivalen dengan nilai  efektif (rms) untuk keseragaman. Oleh sebab itu bentuk fasor tegangan dan arus dituliskan sebagai berikut :

V =  V Ð θ

I =   I Ð θ                                  ………………………………...(2)

dimana V dan I adalah nilai rms dan θ  adalah sudut fasa.

Contoh 1

Konversi bentuk di bawah ini dari domain waktu ke domain fasor

Domain waktu                                             Domain fasor a. √2 (50) sin ωt                                          50 Ð 00

b. 69.6 sin (ωt + 720)                                  (0.707)(69.6) Ð 720= 49.21 Ð 720

c. 45 cos ωt                                                 (0.707)(45) Ð 900= 31.82 Ð 900

Contoh 2

Konversi bentuk di bawah ini dari domain fasor ke domain waktu jika frekuensi 50 Hz.

Domain fasor                                             Domain waktu

a.  I = 10 Р300                                                                  i = √2 (10) sin (100πt +300)

i = 14.14 sin (100πt +300)

b. V = 115 Р-700                                                            v = √2 (115) sin (100πt - 700)

v = 162.6 sin (100πt - 700)

2. Hubungan V-I dan Notasi Fasor pada Elemen R, L, C

Elemen Resistor ( R )

Setiap saat daya dapat dikirim ke resistor tanpa memperhatikan polaritas tegangan atau arus, kecuali pada saat iR= 0 Amp. atau vR= 0Volt. Hal  ini  diperlihatkan  pada  Gambar  4.     Pada  saat  tegangan  yang diterapkan  mencapai  nilai  maksimum  +8V  arus  yang  melalui  resistor adalah 4A, dan daya yang dikirim adalah 32W seperti yang diperlihatkan pada gambar. Bila tegangan diperkecil setengah dari tegangan maksimum yaitu 4V maka arusnya adalah 2A dan dayanya 8W. Bila arusnya 0A dan tegangan  0V  maka  dayanya  juga  0W.     Bila  diterapkan  tegangan maksimum -8V maka polaritas arus terbalik seperti pada gambar, tetapi arus yang melalui resistor tetap 4A dan dayanya 32W. Dengan demikian tampak  bahwa  perubahan  arah  arus  tidak  mempengaruhi  daya  yang dikirim ke resistor.

Gambar 4. Demonstrasi pengiriman daya dengan sumber tegangan sinusoidal

Jika kita sekarang memplot tegangan dan arus pada grafik yang sama diperoleh gambar seperti pada Gambar 5. Dari Gambar 5. terlihat bahwa arus dan tegangan mencapai nilai maksimum dan nilai nol pada saat  yang  sama,  dengan  demikian  dapat  disimpulkan  bahwa    untuk elemen resistor ;tegangan dan arus adalah sefasa.

Gambar 5. Tegangan dan arus sefasa pada resistor

Notasi Fasor

berikut :

Notasi  fasor  tegangan  pada  resistor  dapat  dituliskan  sebagai

vR  = Vm sin ωt       è      VR = VR   Ð 00

dimana VR  = VR(rms) = 0.707 Vm

0

Gunakan hukum Ohm :

IR =

VR Ð0

= VR

Ð00

- q R

= VR

Р- q R

RÐq R             R                      R

Untuk  keseragaman  format,  θR   dihubungkan  dengan  elemen  resistor. Karena vR dan iR sefasa maka sudut θR = 00. Substitusi θR = 00 maka :

R

IR =

V Ð00

= VR  Ð00 - 00 =

VR  Ð00

RÐ00            R                     R

Konversi hasilnya kembali ke domain waktu adalah :

æ V  ö

i   =   2 ç

R  ÷ sinwt

……………………………………………..(3)

R                è R ø

Elemen Induktor ( L )

Untuk elemen induktif, tegangan adalah berbanding lurus dengan

L dan laju perubahan arus yang dapat dinyatakan sebagai berikut :

v   = L di L

………………………………………………(4)

L                 dt

Dari persamaan (4), jika laju perubahan arus adalah nol maka tegangan yang terinduksi pada L adalah nol. Jika laju perubahan arus menuju maksimum positif maka tegangannya adalah maksimum positif, jika laju perubahan arus menuju maksimum negatif maka tegangannya adalah maksimum negatif.

Arus sinusoidal selalu menginduksikan tegangan sinusoidal pada rangkaian induktif. Oleh karena itu tegangan dapat digambar berkenaan dengan nilai arus, dengan mengetahui titik-titik pada kurva arus dan nilai tegangan adalah nol pada saat arus maksimum. Hubungan fasa dapat

dilihat pada Gambar 6.(a). Perhatikan bahwa tegangan leading terhadap arus sebesar 900. Hubungan tegangan dan arus sebagai fasor diperlihatkan pada Gambar 6.(b).

Gambar 6. Hubungan fasa arus - tegangan induktor

Notasi Fasor

berikut :

Notasi  fasor  untuk  arus  pada  induktor  didefinisikan  sebagai iL  = Im sin ωt       è   IL  = IL   Ð 00

dimana  IL  = IL(rms) = 0.707 Im

Gunakan hukum Ohm untuk elemen induktif :

VL  = IL Ð 00  . XL Ð θL = IXL Ð θL + 00 = IXL Ð θL

Karena   vL      harus lead terhadap iL  sebesar 900, maka θL  harus 900  . Substitusi θL = 900   akan diperoleh

VL  = IL Ð 00  . XL Ð 900 = IXL Ð 900   = I jXL

Dalam domain waktu adalah :

v L  = √2 (IXL) sin (ωt+900)    ………………………………………(5)

Elemen Kapasitor ( C )

Untuk elemen kapasitif, arus adalah berbanding lurus dengan besar kapasitansi C dan laju perubahan tegangan yang dapat dinyatakan sebagai berikut :

dv

i   = C     C

………………………………………………(6)

C                 dt

Bentuk gelombang tegangan mempunyai laju perubahan maksimum (dv/dt

= maksimum) pada nilai nol dan laju perubahan nol (dv/dt=0) pada nilai maksimum, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 7.

Dari persamaan (6), jika dv/dt=0 maka i=0 dan jika dv/dt menuju maksimum positif maka i adalah maksimum positif dan sebaliknya dv/dt menuju maksimum negatif maka i adalah maksimum negatif.

Gambar 7. Laju perubahan dari gelombang sinus

Tegangan sinusoidal selalu menghasilkan arus sinusoidal untuk rangkaian kapasitif. Oleh karena itu arus dapat digambar berkenaan dengan tegangan, dengan mengetahui titik-titik pada kurva tegangan dan arus adalah nol pada saat tegangan maksimum. Hubungan fasa dapat dilihat  pada  Gambar  8.(a)  Perhatikan  bahwa  arus  leading  terhadap

tegangan  sebesar  900.  Hubungan  arus  dan  tegangan  sebagai  fasor diperlihatkan pada Gambar 8.(b).

Gambar 8. Hubungan fasa arus - tegangan kapasitor

Notasi Fasor

berikut :

Notasi fasor untuk tegangan pada kapasitor didefinisikan sebagai

vC  = Vm sin ωt       è   VC  = VC Ð 00

dimana VC  = VC(rms) = 0.707 Vm

Gunakan hukum Ohm akan menghasilkan :

0

C

C

C

I   = VC Ð0

= VC  Ð00 - q

= VC  Ð - q

X

XC ÐqC          XC                                        C

Karena   iC leading terhadap vC  sebesar 900, maka θC  harus mempunyai sudut -900 . Substitusi θC  = - 900  akan diperoleh

C

I   =    VC

Ð00

= VC  Ð00 - (-9 00 ) =

VC  Ð900

C

C

C

X  Ð - 900         X                              X

Hasilnya dalam domain waktu adalah :

æ V  ö

i C =   2 ç

C  ÷ sin (wt + 900 )

……………………………………(7)

è XC  ø

3. Impedansi pada Elemen R, L, dan C

Impedansi adalah perbandingan antara tegangan fasor dan arus fasor, yang diberi simbol Z. Magnituda impedansi adalah perbandingan antara magnituda tegangan fasor dan magnituda arus fasor; sudutnya adalah selisih sudut tegangan dan arus. Satuan impedansi adalah ohm.

Impedansi adalah bilangan kompleks, bukan fasor oleh karena bukan   fasor   maka   tidak   mempunyai   fungsi   dalam   domain   waktu. Impedansi dapat dinyatakan dalam bentuk polar (persamaan 8) maupun dalam bentuk rektangular (persamaan 9).

Z =  ІZІ Ðq Z

…………………………………………………...… (8)

Z =  R + j X      …………………………………………………..… (9)

dimana  R = Re Z  = komponen resistif = resistansi X  = Im Z   = komponen reaktif  = reaktansi θZ = selisih sudut antara tegangan dan arus

Z =   R 2 + X2

q  = tan -1 X

Z                       R

Elemen Resistor

R

R

Z   = VR  =

V Ð00

= RÐ00

………………………..…(10)

R

I R        I

Ð00 / R

VR   = IR ZR

Elemen Induktor

iL  = Im sin ωt

v  = L

di L

dt

= L d(I m sinwt)

dt

= wL (I m cos wt)

V = ωLI

XL  =

V = wLI I        I

= wL = 2 Õ fL

…………………………….(11)

ZL = jXL = S L = jωL = ωL Ð900

………………………. (12)

VL   = IL ZL

Elemen Kapasitor

VC  = Vm sin ωt

i  = C

dVC

dt

= C d(Vm sinwt)

dt

= wC (Vm cos wt)

I = ωCIm

XC =

V =   V   =

I     wCV

1  =     1

wC    2 Õ fC

…………………………….(13)

ZC = -jXC = -j

1

2 Õ fC

=     1

2 Õ fC

Ð - 900

….………….…. (14)

VC   = IC ZC

Segitiga Impedansi Rangkaian Seri R-L

Impedansi total rangkaian seri R-L adalah penjumlahan dari R

dan XL yang dapat dinyatakan sebagai berikut :

Z = R + jXL          ……………………………………………………(15)

Diagram fasor dari R dan  XL tampak pada Gambar 9.

Gambar 9. Segitiga impedansi rangkaian seri R-L

Segitiga Impedansi Rangkaian Seri R-C

Impedansi total rangkaian seri R-C adalah penjumlahan dari R

dan XC yang dapat dinyatakan sebagai berikut :

Z = R – jXC      ………………………………………………………(16)

Diagram fasor dari R dan  XC tampak pada Gambar 10.

Gambar 10. Segitiga impedansi rangkaian seri R-C

4. Respon Frekuensi pada Elemen R, L, dan C

Elemen Resistor

Untuk sebuah resistor ideal, kita dapat mengasumsikan bahwa frekuensi tidak berpengaruh pada level impedansi seperti yang tampak pada Gambar 11. Perhatikan bahwa pada frekuensi 5 kHz atau 20 kHz, resistansi dari resistor adalah tetap 22 Ω; tidak ada perubahan.

Gambar 11. Grafik R terhadap frekuensi

Elemen Induktor

Untuk   induktor   ideal,   persamaan   reaktansi   dapat   dituliskan sebagai berikut :

XL = ωL = 2πf L = (2πL) f = kf   dimana k=2πL

Persamaan yang diperoleh dapat disamakan  dengan persamaan  garis lurus berikut :

y = mx + b = kf + 0 = kf

dimana b=0 dan slope adalah k atau 2πL. XL  adalah variabel y dan f adalah variabel x seperti pada Gambar 12. Karena induktansi menentukan slope dari kurva maka induktansi yang lebih besar digambarkan sebagai garis lurus yang lebih curam yang dapat dilihat pada Gambar 12. Selain itu juga terlihat bahwa untuk f = 0 Hz, reaktansi dari setiap titik adalah 0 ohm. Dengan mensubstitusi f = 0 Hz diperoleh :

XL = 2πf L = 2π(0)L = 0 Ω

Karena diperoleh reaktansi nol ohm maka dikaitkan sebagai karakteristik short circuit, sehingga dapat disimpulkan bahwa :

Pada frekuensi 0 Hz, sebuah induktor dinyatakan sebagai sebuah karakteristik dari short circuit seperti yang diperlihatkan pada Gambar

13.

Gambar 12. Grafik XL terhadap frekuensi

Gambar 13. Pengaruh frekuensi rendah dan tinggi pada induktor

Pada Gambar 13. terlihat bahwa bila frekuensi dinaikkan maka reaktansi juga  bertambah,  sehingga  mencapai  level  yang  cukup  tinggi  pada frekuensi yang sangat tinggi. Sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut :

Pada frekuensi yang sangat tinggi , sebuah induktor dinyatakan sebagai karakteristik open circuit seperti yang diperlihatkan pada Gambar 13.

Elemen Kapasitor

Persamaan reaktansi untuk kapasitor adalah :

1

XC =

2PfC

dapat ditulis sebagai

XC f

=    1   = k

2PC

Dimana sesuai dengan format dasar untuk hiperbola :

y x = k

dimana XC adalah variabel y dan f adalah variabel x serta k adalah konstanta yang sama dengan 1/2πC. Hiperbola mempunyai bentuk sepeti pada Gambar 14.   tampak bahwa untuk kapasitansi yang lebih besar kurvanya mendekati sumbu vertikal pada frekuensi rendah dan mendekati sumbu horisontal pada frekuensi tinggi. Pada frekuensi 0 Hz atau mendekati nol reaktansi sangat tinggi, sebagaimana dapat ditentukan dari rumus berikut :

XC =

1   =

2PfC

1

2P(0)C

Þ ¥ W

Sehingga dapat disimpulkan bahwa :

Pada frekuensi 0 Hz atau mendekati  nol karakteristik kapasitor dapat dinyatakan sebagai open circuit, dan frekuensi yang sangat tinggi kapasitor dinyatakan sebagai short circuit seperti yang diperlihatkan pada Gambar 15.

Gambar 14. Grafik XC terhadap frekuensi

Gambar 15. Pengaruh frekuensi rendah dan tinggi pada kapasitor

Add to Cart